✎☛ Étudier l'appartenance d'un point à une droite

Méthode

Soit \(d\) une droite de l'espace passant par \(\text A(x_\text A~;~y_\text A~;~z_\text A)\) et de vecteur direct eur \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\) .
Dire que  \(\text B(x_\text B~;~y_\text B~;~z_\text B)\) appartient à \(d\) signifie que \(\overrightarrow{\text A\text B}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires, autrement dit qu'il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{\text A\text B}=t\overrightarrow{u}\) .

• Méthode directe
  On regarde si les coordonnées des vecteurs   \(\overrightarrow{\text A\text B}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont proportionnelles.
  
• Méthode avec une représentation paramétrique de la droite
  On remplace \(x\) , \(y\) et \(z\) par les coordonnées de \(\text B\) dans la représentation paramétrique de la droite puis on résout chaque équation du système.
  

Énoncé

La représentation paramétrique d'une droite \(d\) est : \(\begin{cases} x = 2t \\ y = t-1 \\ z = t+2 \\ \end{cases}, t\in\mathbb R\) .
1. Le point \(\text M(2~;~0~;~2)\) appartient-il à \(d\)  ?
2. Le point \(\text P(-6~;-4~;-1)\) appartient-il à \(d\)  ?

Solution

On dispose d'une représentation paramétrique de la droite \(d\) .

1. On remplace \(x\) , \(y\) et \(z\)   par les coordonnées du point \(\text M\) puis on résout  \(\begin{cases} 2 = 2t \\ 0 = t-1 \\ 2 = t+2 \\ \end{cases}\) ce qui donne :  \(\begin{cases} t = 1 \\ t = 1 \\ t=0 \\ \end{cases}\) .
On n'obtient pas la même valeur de \(t\) pour les trois équations, donc   \(\text M\notin d\) .

2. On remplace \(x\) , \(y\) et \(z\)   par les coordonnées du point \(\text P\) à la place de   \(x\) , \(y\) et \(z\)   puis on résout  \(\begin{cases} -6 = 2t \\ -4 = t-1 \\ -1 = t+2 \\ \end{cases}\) ce qui donne :  \(\begin{cases} t=-3 \\ t=-3 \\ t=-3 \\ \end{cases}\) .
On obtient la même valeur de  \(t\) pour les trois équations, donc   \(\text P\in d\) .